无穷多个耦合谐振子也能分解？《张背阴的物理课》求解一维谐振子链

原问题：无穷多个耦合谐振子也能分解？《张背阴的无穷物理物理课》求解一维谐振子链

若何形貌一个扩散在一维格点上的典型谐振子系统 ？若何求解这样一个多体下场 ？甚么是格点上的傅里叶变更？

7月21日12时 ，《张背阴的耦合物理课》第一百五十九期开播，搜狐独创人、谐振谐振董事局主席兼CEO、也能阴物理学博士张背阴坐镇搜狐视频直播间 ，分解先带巨匠温习了若何经由变量组合将两个耦合的张背谐振子分解为两个逍遥谐振子，并求解其行动方式。课求其后，无穷物理张背阴将这种分解行动方式的耦合思绪，运用到对于一维格点上的谐振谐振谐振子多体系统的处置上。类比对于弦振动下场的也能阴品评辩说 ，张背阴介绍了在格点上的分解傅里叶变更 ，并发现变更后，张背一维格点上的课求谐振子系统在 k 空间中形貌偏偏知足由响应频率的逍遥谐振子方程 ，对于应了系统的无穷物理一种总体激发方式。

等间距部署在格点上的一维谐振子系统

二十世纪的物理学又被戏称为“谐振子的物理学”
，由于谐振子模子饶富简洁、可解但深入 。事实上，做作界中到处可见的稍稍偏离失调点的能源学历程，都能类似成一个谐振子系统
。从而，对于谐振子的钻研让咱们对于微扰历程有了普遍而直不雅的认知 ，并直接带来了在物资妄想等规模上的意见刷新 。

在最近的课程中，张背阴再次回归这一简洁但不重大的物理模子，分说运用微积分措施以及代数措施患上到了单个谐振子的量子化能谱
。在上一次课程中 ，他还详细合成了对于两个耦合谐振子系统的能源学行动 ，运用分解变量的措施，这样的耦合零星可能分解成两个差距频率的逍遥谐振子，分说对于应两种差距的行动方式，而系统总的行动行动即两方式的叠加。

详细品评辩说了单体以及两体的行动后，张背阴做作地提出一个下场，假如再退出第3个 、第4个，致使更多的谐振子后，一个多体系统的振荡会有奈何样的纪律呢 
？为了简洁起见 ，他思考一个一维的、在 x 倾向上部署的谐振子系统。将恣意抉择的一个谐振子选为零点后 ，咱们可能用整数 q 来标号差距的谐振子，它理当能取到从负无穷到正无穷间的所有整数（如图所示）。

思考在行动形态下 ，这些谐振子将甚至关的距离 l 部署，每一个粒子的相对于位置可能记为

在系统开始振荡时，该位置这是系统中对于应某谐振子的失调点 。进一步 ，思考标号为 q 的谐振子在失调点临近作振荡
，它偏离失调点的距离可能以 x_q 展现 。这里张背阴揭示巨匠留意分说前面界说的相对于位置 ，以及各点上的偏移量 。在偏离失调点的历程中，它所感受到势场可能表白为

其中，与 ω 无关的第一项是试图将其约束概况牵引回失调点处的中间势场。另一方面，与 ω1 无关的后两项表白了它与临近格点上（q±1 处）的谐振子的相互熏染 。当相邻的谐振子“平行地”偏移同样地距离时，两者之间不会发生相互熏染；反之，它们间会泛起一个劲度系数为 ω1 的张力。

从势能可能求出 q 点处谐振子的受力

咱们临时将品评辩说规模在典型力学的框架下
，由牛顿定律
，标号为 q 的谐振子的行动由微分方程

给出
，全部人系的行动由从负无穷到正无穷遍历标号 q 后患上到的微分方程组抉择。乍看之下，这团系统的能源学下场彷佛极其重大体使于不可求解。可是上节课的履历见告咱们，一个重大的耦合方程，有可能在重新组合变量后被分解为多少多个重大的总体行动——好比对于二体系统是质心行动以及相对于行动 。做作地，张背阴愿望可能对于多体零星做相似的使命
。

（张背阴推导一维格点上的谐振子系统的行动方程）

多体谐振子的方式分解与行动方程的解

在不断品评辩说以前，让咱们先回顾对于弦振动的品评辩说。思考一根水清静排的弦  ，咱们以为它的“振动”即是弦上的点在竖直倾向上的偏移
。

对于一根弦而言，其上的点是不断扩散，可能用不断的坐标 x 来标志。而该点对于应的偏移量可能记为 u(x,t)，咱们需要求解的即是这样一个对于坐标 x 以及光阴 t 的函数 
，它理当晃动方程

在求解这样一个偏微分方程时 ，咱们用到了分说变量法以及傅里叶变更

将其分解为以波数 k 标志的一系列的简正方式再作组合。

类比这个思绪，咱们可能重新将各点上的谐振子的偏移量不同记为

这里 ql 即是各失调点的坐标。概况进一步可能将其简记为

不美不雅到，函数的第一份量同样起到标志差距点的意思——只不外此时它是分说取值的。与弦振动比照，另一个差距是，弦振动中的偏移量沿竖直倾向 ，与转达倾向相垂直 ，即是个纵波 。而多体谐振子系统的偏移倾向与转达倾向坚持不同  ，是个横波，这一点在前面的合成中会看患上更清晰 。

为清晰行动方程，咱们试验经由傅里叶分解去追寻它的“简正方式” ，即在 (*) 式等号右侧取坐标 x = ql ，有

这里为了坚持量纲以及后续合计服从的简洁 ，咱们在前面引入了一个常系数 。张背阴揭示，留意这里变量 q 是离散取值的整数，而 k 依然坚持不断取值。将这样一睁开式代入牛顿定律给出的微分方程中 ，有

比力双方，由于简正方式是正交的，不难读出对于系数的方程

留意到给定 k 后 ，等式右侧的中括号内是一个常数，可能记为一个实用频率

再次与弦振动下场相类比，这一等式又被称为色散关连（Dispersion relation）。

留意到其中 sin 是一周期函数 ，于是实用频率理当仅在 sin 的某一干燥区间上界说 。它导致了

或者即对于参数 k 的取值约束

当实用频率取到最小值时
，对于应各谐振子之间不耦合  ，各逍遥失调点临近振动这一重大情景  。

运用实用频率的界说，一维格点上的谐振子系统在 k 空间中的行动方程是一个逍遥谐振子的操作方程

不难患上到其解

回代入睁开中，有

当初为止咱们患上到的服从可能这样清晰 ，以多少多个谐振子组成的片断为例剖析，如图 ，假如咱们在最右侧的谐振子上作一扰动使其偏移，开始振荡。由于临近谐振子之间存在相互熏染，左起第二个谐振子会受其影响也开始泛起偏移。

经由光阴的推移这个振荡会逐渐、逐格子地向右转达，而振荡转达的倾向即由实用频率Ω_k前面的正负号抉择
。其次 ，可能看到
，尽管物理上各个谐振子各自的行动至关重大，可是全部多体系统的总体行动可能被分解为多少多个逍遥振荡方式之以及——这与咱们所预期的、从二体下场中患上到的履历是不同的。

（张背阴求解一维格点上的谐振子系统的行动方程）

再谈格点上的傅里叶合成

在前面的合计中，咱们临时漠视了一个下场：奈何样严厉地界说概况清晰一维格点上的所谓“傅里叶变更”呢
？首先让咱们重新、详细地写下格点的傅里叶变更

张背阴揭示，这里要留意积分的高下限理当与色散关连的界说域坚持不同 。首先咱们试验求其逆变更，模拟艰深傅里叶变更求逆的历程 ，咱们在等式右侧乘上共轭后的指数项而后对于变量 q 求以及z

留意到这里 q 的取值规模是离散的，以是留意艰深傅里叶变更中的积分理当以求以及替换之。

不断整理等号右侧，并吞同类项并交流积分与求以及，有

此时积分成果可能交流为一个 δ 函数 ，即

即

它可能以为是这一谐振子系统在 k 空间上的，与 q 空间对于偶的形貌。对于对于参数 k 极其两个空间的清晰
，将在后续的课程中不断睁开。

（张背阴推导格点上的傅里叶变更）

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